四季日出的方位、太陽的軌道、永晝及永夜
Sunrise Azimuth around the Year,
Solar Orbit, Polar Day and Polar Night
王藹侯
Ai-Hou Wang, M.D., Ph.D.
*** 緣起 ***
–
地球高緯度地方日出的方位為什麼不在東南方而在東北方呢？ –
1990 -1991小兒眼科fellowship在舊金山待了一年，舊金山的緯度等同於北京。
太陽夏至的時候北移到最北也不超過北緯23.5度(台灣嘉義)，肯定是在舊金山以南。
夏日清晨，在舊金山半島驅車沿Geary
Street朝正東方向行進，咦！旭日怎麼不是在右前方，偏東南方位昇起，而是從左前方、東北方位日出呢？
*** 解答 ***
計算台北(北緯25°)夏至時的日出方向 –
地平面上設定座標 – x軸向東，y軸向北，z軸向上。(見圖)
日出的方向設為和正東方向夾角θ°，在半徑1的單位圓上，日出向量是( cosθ, sinθ, 0 )。
台北的緯度是北緯25°，於是北極星的方向是正北、朝上25°，在單位圓上，北極星向量是( 0, cos25, sin25 )。
依內積的代數定義，兩向量的內積是cosθ×0
+ sinθ×cos25 + 0×sin25 = sinθ×cos25
地軸傾斜角是23.5°。於是夏至的時候，太陽與北極星的夾角是66.5°。(見圖)
依內積的幾何定義，在單位圓上，兩向量的內積是cos66.5。
‘代數定義的內積’ 等於
‘幾何定義的內積’，於是
sinθ×cos25 = cos66.5
à θ = arcsin ( cos (66.5 x pi / 180) / cos
(25 x pi / 180) )
à
θ = 0.456弳度(radian)
= 26.102度(degree)
計算得到台北市(北緯25度)夏至的時候，日出點在正東偏北26.1度。.
冬至的時候，太陽與北極星的夾角是(180-66.5)°。(見圖)
sinθ×cos25 = cos(180-66.5) = -cos66.5
à
θ = -26.102度(degree)
於是台北市(北緯25度)冬至的時候，日出點在正東偏南26.1度。.
春分和秋分的時候，太陽與北極星的夾角是90°。(見圖)
sinθ×cos25 = cos90 = 0
à
sinθ = 0
à
θ = 0度(degree)
於是台北市(北緯25度)春分和秋分的時候，日出點在正東方向(0度)。.
夏至的時候，日出點在正東偏北26.1度。.
冬至的時候，日出點在正東偏南26.1度。.
春分、秋分由正東日出。(見圖)
計算完夏至、冬至、春分、秋分四天的日出方位後，再延伸來計算全年中任何一天的日出方位。
先計算全年中任何一天 ‘太陽與北極星的夾角’ –
以太陽為中心, 春分為x-軸，夏至為y-軸。(見圖)
從地球看，北極星的向量是(0,
-cos66.5, sin66.5)，太陽的向量是(-cosφ, -sinφ, 0)。
太陽與北極星的夾角設為ω
兩個向量的內積是 cos(ω)
= -cos66.5 x –sinφ
à ω = arccos ( -cos66.5 x –sinφ )
角φ：春分是0°，夏至是90°，秋分是180°，冬至是270°。
再來計算全年中任何一天台北(北緯25°) ‘日出的方位’ –
同文章最前面的計算，
地平面上設定座標 – x軸向東，y軸向北，z軸向上。(見圖)
日出的方向設為和正東方向夾角θ°，在半徑1的單位圓上，日出向量是( cosθ, sinθ, 0 )。
台北的緯度是北緯25°，於是北極星的方向是正北、朝上25°，在單位圓上，北極星向量是( 0, cos25, sin25 )。
依內積的代數定義，兩向量的內積是cosθ×0
+ sinθ×cos25 + 0×sin25 = sinθ×cos25
由之前 ‘太陽與北極星的夾角’ 的計算得到，由地球上看，太陽與北極星的夾角是ω。
兩個向量的內積是 cos(ω)
= -cos66.5 x –sinφ
‘代數定義的內積’ 等於
‘幾何定義的內積’，於是
cos25 x sinθ = cos(ω) = cos66.5 x
sinφ
à θ = arcsin ( cos (66.5 x pi / 180) x sin
( φ x pi / 180 ) ) / cos (25 x pi / 180)
角φ：春分是0°，夏至是90°，秋分是180°，冬至是270°。
而從春分算起第 n 天，角φ = n / 365 x 360。
以上是我哥、台大數學系教授的計算與解答。
我看了這個由不同座標參考點去做座標轉換的解題方式覺得有趣，說這可以當作你們數學系學生的考題。
不想原來線性代數課本的習題裡早就有同樣的題目。這讓我不由得對數學系的師生們投以崇高的敬意。
上網查閱，得到騰訊網上這篇
‘高中地理 – 日出、日落方向、太陽運動軌跡、太陽高度角’ –
https://new.qq.com/omn/20190924/20190924A0AAZE00.html
文中有許多定性的描述，但是定量的計算不多並且有錯誤的地方。(見圖)
大家可以由網上的圖了解在不同緯度的太陽軌跡，而如果想要知道精準的座標、軌道、方位等等，則可以參考本文的計算方法。
在台北(北緯25度)，
太陽運行軌道是斜的平面，斜面和地面垂直線的夾角等於緯度，
正午時太陽肯定是在中天偏南，但是斜面和地平面的交線 (日出，日落點)，則是在東北和西北方。
依此，請想像北極圈和南極圈，緯度66.5度以上，有永晝(極晝，polar day)、永夜(極夜，polar night)的地方的太陽軌道。
例題 –
北緯75度哪天開始永晝？哪天結束？
哪天開始永夜？哪天結束？